Pendahuluan Metode Numerik

Konsep dasar numerik
Metode numerik :
Teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematis agar dapat dipecahkan menggunakan operasi hitungan
Ciri : semus mrtode numerik mencakup sejumlah besar perhitungan yang bentuknya serupa
Alat bantu : - kalkulator
• Komputer
Pemahaman suatu metode :
Dengan menjalankan metode untuk beberapa langkah pertama
Nilai eksak dan hampiran
Contoh : luas lingkaran dengan jari2 r
Nilai sejati = πr² (π = 3,1415926…)
Nilai hampiran = 22/7r² (22/7 = 3,1428571)
Terdapat dua cara penyelesaian masalah matematika :
1. Analitis --> ciri : jawaban berupa nilai eksak
2. Numerik --> ciri : jawaban berupa nilai hampiran
Galat/error/kesalahan
Timbul sebagai akibat penggunaan hampiran untuk menyatakan besaran/operasi matematika
Definisi :
Galat adalah selisih antara nilai eksak/sejati dengan nilai hampiran
Cara penulisan galat
Misal a = niali eksak
a* = nilai hampiran
Galat sejati = E = a - a*
Galat mutlak = |E| = |a - a*|
Galat relatif = |e| = |(a - a*)/a|
Jenis galat
1. Galat bawaan :
Adalah galat yang sudah ada/melekat pada bilangan/data. Terdapat pada bilangan yang berupa hasil pengukuran, misalnya mengukur panjang, menimbang berat.
2. Galat proses :
Timbul sebagai akibat operasi hitungan. Ada 2 jenis galat proses :
1. Galat pembulatan
Timbul akibat penggunaan hampiran utnuk menyatakan bilangan (sehari2 dikenal sebagai pembulatan bilangan).
Aturan pembulatan :
• Pembulatan ke atas
• Pembulatan pemenggalan
Contoh :
1. Pembulatan ke atas & pemenggalan
A = 3,141592
Pa ≈ 3,14
--> galat pembulatan E = 0,001592
2. X = 0,6666666
Galat pembulatan ke atas
Px ≈ 0,67
|E| = 0,0033334
Galat pembulatan pemenggalan
Px = 0,66
|E| = 0,0066666
2. Galat pemotongan
Timbul akibat penggunaan hampiran untuk suatu prosedur matematis
Contoh :
P = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …
Hp ≈ x - x³/3!
Galat pemotongan E = x⁵/5! - x⁷/7! + …
Galat total (dalam numerik) = gagal pembulatan + galat pemotongan
Perambatan galat :
Dalam melakukan operasi hitungan pada dua bilangan yang mengandung galat, hasilnya akan mengandung galat yang tergantung pada galat masing2 & jenis operasi
Semakin banyak operasi dalam suatu prosedur, semakin cepat galat merambat
Usaha mengurangi perambatan galat
1. Mengubah rumus sehingga banyaknya operasi sesedikit mungkin
Contoh :
p(x) = x⁵ + 4x⁴ - 5x³ + 8x² - 2x + 9
q(x) = ((( x + 4 ) . - 5). + 8). - 2). + 9
|--> disebut bentuk perkalian bersarang
2. Mengubah urutan operasi
Dalam kasus nyata :
• Yang diketahui hanyalah a*, sehingga besarnya galat E tidak dapat dihitung
• Yang dapat dilakukan adalah menaksir besarnya galat, yaitu dengan cara memberi batas atas |E| ≤ ε ( ε = epsilon : bilangan positif kecil)
• Dipilih proses yang menimbulkan galat sekeci mungkin & dengan menetapkan epsioln sehingga hampiran yang dipilh "baik"
Jenis hitungan numerik
1. Hitungan langsung :
Melalui serangkaian operasi hitungan akan memberikan selesaian
Contoh :
1. Persamaa kuadrat : 2x² + 3x - 1 = -6 0
( -b ± √(b² - 4ac) ) / 2a
2. Dua persamaan linier
4x + y = 9
2x + 5y = 18
Substitusi/eliminasi
2. Hitungan tak langsung/iteratif
Hitungan yang mengandung pengulangan hitungan langsung
Suatu hitungan iteratif terdiri atas 3 komponen
• Tebakan awal
• Skema iteratif
• Kriteria penghentian
Suatu hitungan iteratif selalu dimulai dengan tebakan awal, kemudian tebakan awal diperbaiki secara berulang melalui skema iteratif sehingga hampiran berikutnya lebih "baik", sampai diperoleh hampiran yang "memuaskan"
Contoh hitungan iteratif
Tebakan awal X₀ = 1
Skema iteratif
Xk+1 = ((xt + 3/xt) / 2), k = 0,1,2,3, …
Kriteria penghentian
Setelah hasil dua iterasi berurutan mempunyai empat angka dibelakang koma sama
Iterasi 1 : k = 0, X1 = ((X0 + 3/X0) / 2) = 2
Iterasi 2 : k = 0, X2 = ((X1 + 3/X1) / 2) = 1,75
Tabel iterasi

k	Xk
0	1
1	2
2	1,75
3	1,7321429
4	1,7320508
5	1,7320508